数值分析重要插值公式

数值分析重要公式

插值

拉格朗日插值

拉格朗日插值多项式

n次插值基函数：（2.7）

$l_{j} (x_{k}) = {\begin{cases} 1, k = j, 0, k \neq j, \end{cases} j, k = 0, 1, \dots, n$

这n+1个n次多项式 $l_{0} (x), l_{1} (x), \dots, l_{n} (x) 为节点 x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n} 上的$ n次插值基函数

具体表达式：（2.8）

$l_{k} (x) = \frac{(x - x_{0}) \dots (x - x_{k - 1}) (x - x_{k + 1}) \dots (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \dots (x_{k} - x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k + 1}) \dots (x_{k} - x_{n})}, k = 0, 1, \dots, n$

拉格朗日插值多项式：（2.9）

$L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} y_{k} l_{k} (x)$

$l_{k} (x) 为点 x_{k} 的插值基函数， y_{k} 为点 x_{k} 对应的函数值，易得 L_{n} (x_{j}) = y_{j}, j = 0, 1, \dots, n$

引入记号：（2.10）

$$
ω_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)…(x-x_n)
\ ω^{‘}{n+1}(x_k)=(x_k-x_0)…(x_k-x{k-1})(x_k-x_{k+1})…(x_k-x_n)
$$

插值余项估计定理：（2.12）

牛顿插值

均差（差商）

1阶均差：

2阶均差：

k阶均差：(3.3)

均差的对称性：

k阶均差另一表达（由对称性）：（3.3）‘

n阶均差与(n阶)导数的关系：（3.5）

均差表：

牛顿插值多项式

牛顿均差插值多项式：(3.6)

$$
P_n(x)=f(x_0)+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-x_1)\+…+fx_0,x_1,…,x_n(x-x_1)…(x-x_{n-1})
$$

插值余项：(3.7)

由（2.10）式定义

一阶差分：称为xk处以h为步长的一阶（向前）差分

二阶差分：

xk处的n阶差分(3.8)：

均差与差分的关系（3.11）：

差分与导数的关系（3.12）：

牛顿前插公式：（3.13)

前插公式余项：（3.14）

h为步长,为步长的n次方，为函数的n+1阶导函数

形式差分表：

埃尔米特插值

重节点均差和泰勒插值

n阶重节点的均差:（4.1）

泰勒插值多项式（4.2）：

它满足条件（4.3）：

其余项（4.4）：

x∈[a,b]

两个典型的埃尔米特插值

第一种埃尔米特插值：满足条件（三个零点，一个一阶导数）

插值多项式：

$$
P(x)=f(x_0)+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
$$

其中

余项（4.5）：

第二种埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk及x~~k+1~~,插值多项式为H3（x），满足条件（4.6）：

采用基函数方法，令（4.7）

，其中为关于节点xk和x~~k+1~~的三次埃尔米特插值基函数，分别满足条件：

$$
α_k(x_k)=1,α_{k+1}(x_{k+1})=0,α’{k}(x_k)=α’{k}(x_{k+1})=0;\
α_{k+1}(x_{k})=0,α_{k+1}(x_{k+1})=1,α’{k+1}(x_k)=α’{k+1}(x_{k+1})=0;\
β_k(x_k)=β_k(x_{k+1})=0,β_{k}’(x_k)=1,β’{k}(x{k+1})=0;\
β_{k+1}(x_k)=β_{k+1}(x_{k+1})=0,β’{k+1}(x{k})=0,β’_{k+1}(x_{k+1})=1;
$$

求得，(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)

余项（4.13）