数值分析重要插值公式

数值分析重要公式

插值

拉格朗日插值

拉格朗日插值多项式

n次插值基函数：（2.7）

$$
l_j(x_k)=
\begin{cases}
1,\space k=j,\
0,\space k≠j,
\end{cases}
\quad j,k=0,1,…,n
$$

这n+1个n次多项式$l_0(x),l_1(x),…,l_n(x)为节点x_0,x_1,…,x_n上的$n次插值基函数

具体表达式：（2.8）

$$
l_k(x)=\frac{(x-x_0)…(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})…(x-x_n)}{(x_k-x_0)…(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})…(x_k-x_n)},\quad k=0,1,…,n
$$

拉格朗日插值多项式：（2.9）

$$
L_n(x)=\sum^{n}_{k=0} y_k l_k(x)
$$

$l_k(x)为点x_k的插值基函数，y_k为点x_k对应的函数值，易得L_n(x_j)=y_j,j=0,1,…,n$

引入记号：（2.10）

$$
ω_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)…(x-x_n)
\ ω^{‘}{n+1}(x_k)=(x_k-x_0)…(x_k-x{k-1})(x_k-x_{k+1})…(x_k-x_n)
$$

插值余项估计定理：（2.12）

牛顿插值

均差（差商）

1阶均差：

$$
f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}
$$

2阶均差：

$$
f[x_0,x_1,x_k]=\frac{f[x_0,x_k]-f[x_0,x_1]}{x_k-x_1}
$$

k阶均差：(3.3)

$$
f[x_0,x_1,…,x_k]=\frac{f[x_0,…,x_{k-2},x_k]-f[x_0,x_1,…,x_{k-1}]}{x_k-x_{k-1}}
$$

均差的对称性：

$$
f[x_0,x_1,…,x_k]=f[x_1,x_0,x_2,…,x_k]=…=f[x_1,…,x_k,x_0]
$$

k阶均差另一表达（由对称性）：（3.3）‘

$$
f[x_0,x_1,…,x_k]=\frac{f[x_1,x_2,…,x_k]-f[x_0,x_1,…,x_{k-1}]}{x_k-x_0}
$$

n阶均差与(n阶)导数的关系：（3.5）

$$
f[x_0,x_1,…,x_n]=\frac{f^{(n)}(ξ)}{n!},ξ∈[a,b].
$$

均差表：

牛顿插值多项式

牛顿均差插值多项式：(3.6)

$$
P_n(x)=f(x_0)+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-x_1)\+…+fx_0,x_1,…,x_n(x-x_1)…(x-x_{n-1})
$$

插值余项：(3.7)

$$
R_n(x)=f(x)-P_n(x)=f[x,x_0,…,x_n]ω_{n+1}(x)
$$

$ω_{n+1}(x)$由（2.10）式定义

一阶差分：称$Δf_k=f_{k+1}-f_k$为xk处以h为步长的一阶（向前）差分

二阶差分：$Δ^2f_k=Δf_{k+1}-Δf_k$

xk处的n阶差分(3.8)：$Δ^nf_k=Δ^{n-1}f_{k+1}-Δ^{n-1}f_k$

均差与差分的关系（3.11）：

$$
f[x_k,…,x_{k+m}]=\frac{1}{m!}\frac{1}{h^m}Δ^mf_k,\quad m=1,2,…,n.
$$

差分与导数的关系（3.12）：$Δ^nf_k=h^nf^{(n)}(ξ)，其中ξ∈(x_k,x_{k+n})$

牛顿前插公式：（3.13)

$$
P_n(x_0+th)=f_0+tΔf_0+\frac{t(t-1)}{2!}Δ^2f_0+…+\frac{t(t-1)…(t-n+1)}{n!}Δ^nf_0
$$

前插公式余项：（3.14）

$$
R_n(x)=\frac{t(t-1)…(t-n)}{(n+1)!}h^{n+1}f^{(n+1)}(ξ),ξ∈(x_0,x_n)
$$

h为步长,$h^{n+1}$为步长的n次方，$f^{(n+1)}(ξ)$为函数的n+1阶导函数

形式差分表：

埃尔米特插值

重节点均差和泰勒插值

n阶重节点的均差:（4.1）

$$
f[x_0,x_0,…,x_0]=\lim_{x_i→x_0}f[x_0,x_1,…,x_n]=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)
$$

泰勒插值多项式（4.2）：

$$
P_n(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+…+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

它满足条件（4.3）：

$$
P^{(k)}_n(x_0)=f^{(k)}(x_0),k=0,1,2,…,k
$$

其余项（4.4）：

$$
R_n(x)=\frac{f^{n+1}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},ξ∈(a,b)
$$

x∈[a,b]

两个典型的埃尔米特插值

第一种埃尔米特插值：满足条件（三个零点，一个一阶导数）

$$
P(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2)及P’(x_1)=f’(x_1)
$$

插值多项式：

$$
P(x)=f(x_0)+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-x_1)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
$$

其中

$$
A=\frac{f’(x_1)-f[x_0,x_1]-(x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}
$$

余项（4.5）：

$$
R(x)=\frac{1}{4!}f^{(n)}(ξ)(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2)
$$

$ξ位于x_0,x_1,x_2和x所界定的范围内$

第二种埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk及x~~k+1~~,插值多项式为H3（x），满足条件（4.6）：

$$
\left. \begin{aligned}
&H_3(x_k)=y_k,&H_3(x_{k+1})=y_{k+1},\
&H_3’(x_{k})=m_{k+1},&H_3’(x_{k+1})=m_k
\end{aligned} \right }
$$

采用基函数方法，令（4.7）

$$
H_3(x)=α_k(x)y_k+α_{k+1}(x)y_{k+1}+β_k(x)m_k+β_{k+1}(x)m_{k+1}
$$

，其中$α_k(x),α_{k+1}(x),β_k(x),β_{k+1}(x)$为关于节点xk和x~~k+1~~的三次埃尔米特插值基函数，分别满足条件：

$$
α_k(x_k)=1,α_{k+1}(x_{k+1})=0,α’{k}(x_k)=α’{k}(x_{k+1})=0;\
α_{k+1}(x_{k})=0,α_{k+1}(x_{k+1})=1,α’{k+1}(x_k)=α’{k+1}(x_{k+1})=0;\
β_k(x_k)=β_k(x_{k+1})=0,β_{k}’(x_k)=1,β’{k}(x{k+1})=0;\
β_{k+1}(x_k)=β_{k+1}(x_{k+1})=0,β’{k+1}(x{k})=0,β’_{k+1}(x_{k+1})=1;
$$

求得，(4.8)(4.9)(4.10)(4.11)

$$
α_k(x)=(1+2\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k})(\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}})^2.\
α_{k+1}(x)=(1+2\frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}})(\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}})^2.\
β_k(x)=(x-x_k)(\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}})^2.\
β_{k+1}(x)=(x-x_{k+1})(\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}})^2.\
$$

余项（4.13）

$$
R_3(x)=\frac{1}{4!}f^{(n)}(ξ)(x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2 \quad,ξ∈(x_k,x_{k+1})
$$